Pinhole Camera Model

Last updated on May 7, 2023 pm

[TOC]

成像流水线

针孔相机模型

相机将三维世界中的坐标点（单位：米）映射到二维图像平面（单位：像素）的过程能够用一个几何模型来描述，其中最简单的称为 针孔相机模型 (pinhole camera model) ，其框架如下图所示。

世界坐标系中三维点 \(M=[X,Y,Z]^T\) 和 像素坐标系中二维点 \(m=[u,v]^T\) 的关系为： \[ s\tilde{m} = A [R \quad t] \tilde{M}\] 即（针孔相机模型）

\[ \begin{aligned} s\left[\begin{array}{c}u\\v\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} f_x&0&c_x\\0&f_y&c_y\\0&0&1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} r_{11}&r_{12}&r_{13}&t_1\\r_{21}&r_{22}&r_{23}&t_2\\r_{31}&r_{32}&r_{33}&t_3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c}X_w\\Y_w\\Z_w\\1\end{array}\right] \end{aligned} \]

其中，\(s\) 为缩放因子，\(A\) 为相机的内参矩阵，\([R \quad t]\) 为相机的外参矩阵，\(\tilde{m}\) 和 \(\tilde{M}\) 分别为 \(m\) 和 \(M\) 对应的齐次坐标。

世界坐标系 到 相机坐标系

\[ \begin{aligned} \left[\begin{array}{c}X_c\\Y_c\\Z_c\end{array}\right] = R \left[\begin{array}{c}X_w\\Y_w\\Z_w\end{array}\right] + t = [R \quad t] \left[\begin{array}{c}X_w\\Y_w\\Z_w\\1\end{array}\right] \end{aligned} \]

相机坐标系 到 像素坐标系

根据三角形相似关系，有

\[ \frac{Z_c}{f} = \frac{X_c}{x} = \frac{Y_c}{y} \]

整理，得

\[ \begin{cases} x = f \cdot \frac{X_c}{Z_c} \\[2ex] y = f \cdot \frac{Y_c}{Z_c} \end{cases} \]

像素坐标系 和 成像平面坐标系 之间，相差一个缩放和平移，联合上式整理得

\[ \begin{cases} u = \alpha \cdot x + c_x \\[2ex] v = \beta \cdot y + c_y \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} u = \alpha f \cdot \frac{X_c}{Z_c} + c_x \\[2ex] v = \beta f \cdot \frac{Y_c }{Z_c} + c_y \end{cases} \]

或

\[ \begin{cases} u = \frac{1}{dx} \cdot x + c_x \\[2ex] v = \frac{1}{dy} \cdot y + c_y \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} u = \frac{f}{dx} \cdot \frac{X_c}{Z_c} + c_x \\[2ex] v = \frac{f}{dy} \cdot \frac{Y_c }{Z_c} + c_y \end{cases} \]

其中，

\[ \begin{cases} dx = \frac{W_{sensor}}{W_{image}}\\[2ex] dy = \frac{H_{sensor}}{H_{image}} \end{cases} \]

则

\[ \begin{cases} f_x = \frac{f}{dx}\\[2ex] f_y = \frac{f}{dy} \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} u = f_x \frac{X_c}{Z_c} + c_x \\[2ex] v = f_y \frac{Y_c }{Z_c} + c_y \end{cases} \]

或

\[ \begin{cases} f_{nx} = \frac{f}{W_{sensor}}\\[2ex] f_{ny} = \frac{f}{H_{sensor}} \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} u = f_{nx} W_{image} \frac{X_c}{Z_c} + c_x \\[2ex] v = f_{ny} H_{image} \frac{Y_c }{Z_c} + c_y \end{cases} \]

其中，

  • \(f\) 为镜头焦距，单位为米;
  • \(\alpha\)、\(\beta\) 的单位为像素/米;
  • \(dx\)、\(dy\) 为传感器x轴和y轴上单位像素的尺寸大小，单位为米/像素;
  • \(f_x\)、\(f_y\) 为x、y方向的焦距，单位为像素;
  • \(f_{nx}\)、\(f_{ny}\) 为x、y方向的归一化焦距;
  • \((c_x,c_y)\) 为主点，图像的中心，单位为像素。

最终，写成矩阵的形式为：

\[ \begin{aligned} \left[\begin{array}{c}u\\v\\1\end{array}\right] = \frac{1}{Z_c} \left[\begin{array}{ccc} f_x&0&c_x\\0&f_y&c_y\\0&0&1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c}X_c\\Y_c\\Z_c\end{array}\right] \end{aligned} \]

或

\[ \begin{aligned} Z_c\left[\begin{array}{c}u\\v\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} f_x&0&c_x\\0&f_y&c_y\\0&0&1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c}X_c\\Y_c\\Z_c\end{array}\right] \end{aligned} \]

主焦距 & 有效焦距

畸变模型

多项式畸变模型 (radial-tangential)

透镜的畸变主要分为径向畸变和切向畸变。

下图是距离光心不同距离上的点经过透镜 径向畸变 后点位的偏移示意图，距离光心越远，径向位移越大，表示畸变也越大，在光心附近，几乎没有偏移。

径向畸变 是由于透镜形状的制造工艺导致，且越向透镜边缘移动径向畸变越严重，实际情况中我们常用r=0处的泰勒级数展开的前几项来近似描述径向畸变，径向畸变后的归一化坐标为：

\[ \begin{cases} x_{distorted} = x (1+k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6)\\[2ex] y_{distorted} = y (1+k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6) \end{cases} \]

切向畸变 是由于透镜和CMOS或者CCD的安装位置误差导致，切向畸变需要两个额外的畸变参数来描述，切向畸变后的归一化坐标为：

\[ \begin{cases} x_{distorted} = x + 2p_1xy + p_2(r^2+2x^2)\\[2ex] y_{distorted} = y + 2p_2xy + p_1(r^2+2y^2) \end{cases} \]

联合上式，整理得

\[ \begin{cases} x_{distorted} = x (1+k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6) + 2p_1xy + p_2(r^2+2x^2)\\[2ex] y_{distorted} = y (1+k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6) + 2p_2xy + p_1(r^2+2y^2) \end{cases} \]

其中，\(r^2 = x^2 + y^2\)

综上，我们一共需要5个畸变参数 \((k_1, k_2, k_3, p_1, p_2)\) 来描述透镜畸变。

畸变矫正

整张图

  • [图像]畸变校正详解

  • 核心示例代码 (from here)

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    for (int v = 0; v < height; v++) {
      for (int u = 0; u < width; u++) {

        double u_distorted = 0, v_distorted = 0;

        double x = (u-cx)/fx;
        double y = (v-cy)/fy;

        double x2 = x*x, y2 = y*y, xy = x*y, r2 = x2 + y2;
        double x_radial = x * (1 + k1*r2 + k2*r2*r2);
        double y_radial = y * (1 + k1*r2 + k2*r2*r2);
        double x_tangential = 2*p1*xy + p2*(r2 + 2*x2);
        double y_tangential = 2*p2*xy + p1*(r2 + 2*y2);
        double xd = x_radial + x_tangential;
        double yd = y_radial + y_tangential;

        u_distorted = xd*fx + cx;
        v_distorted = yd*fy + cy;

        // 最近邻插值
        if (u_distorted >= 0 && v_distorted >= 0 && u_distorted < width && v_distorted < height)
            img_dst(v, u) = (*this)((int) v_distorted, (int) u_distorted);
        else
            img_dst(v, u) = 0;
      }
    }

单点

上面逆向过程 (PinholeCamera::liftProjective())

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// Lift points to normalised plane
mx_d = m_inv_K11 * p(0) + m_inv_K13;
my_d = m_inv_K22 * p(1) + m_inv_K23;

  • Apply Inverse distortion model

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    // Apply inverse distortion model proposed by Heikkila
    mx2_d = mx_d*mx_d;
    my2_d = my_d*my_d;
    mxy_d = mx_d*my_d;
    rho2_d = mx2_d+my2_d;
    rho4_d = rho2_d*rho2_d;
    radDist_d = k1*rho2_d+k2*rho4_d;
    Dx_d = mx_d*radDist_d + p2*(rho2_d+2*mx2_d) + 2*p1*mxy_d;
    Dy_d = my_d*radDist_d + p1*(rho2_d+2*my2_d) + 2*p2*mxy_d;
    inv_denom_d = 1/(1+4*k1*rho2_d+6*k2*rho4_d+8*p1*my_d+8*p2*mx_d);

    mx_u = mx_d - inv_denom_d*Dx_d;
    my_u = my_d - inv_denom_d*Dy_d;

  • Recursive distortion model

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    // Recursive distortion model
    int n = 8;
    Eigen::Vector2d d_u;
    distortion(Eigen::Vector2d(mx_d, my_d), d_u);

    // Approximate value
    mx_u = mx_d - d_u(0);
    my_u = my_d - d_u(1);

    for (int i = 1; i < n; ++i)
    {
        distortion(Eigen::Vector2d(mx_u, my_u), d_u);
        mx_u = mx_d - d_u(0);
        my_u = my_d - d_u(1);
    }