3D欧式变换理论与实践

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Overview

三维空间中的变换主要分为如下几种：

• 射影变换
• 仿射变换
• 相似变换
• 欧式变换

其性质如下图所示：

本文主要介绍欧式变换。

欧式变换

\[ \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \]

\[ \mathbf{T}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{R}^T & -\mathbf{R}^T \cdot \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \]

Translate by \(-C\) (align origins), Rotate to align axes:

\[ \begin{aligned} P_c &= \mathbf{T} \cdot P_w \\ &= \mathbf{R} \cdot (P_w - C) \\ &= \mathbf{R} \cdot P_w - \mathbf{R} \cdot C \\ &= \mathbf{R} \cdot P_w + \mathbf{t} \end{aligned} \]

坐标系手性

坐标系的手性主要分为 右手系 和 左手系，主要通过以下两种方法区分（右手系）：

• 3 finger method

  

• Curling method

  

另外，不同的几何编程库所基于的坐标系的手性会有所不同

• Eigen: 右手系
• OpenGL: 右手系
• Unity3D: 左手系
• ROS tf: 右手系

注意事项

区分 点的变换 和 坐标系本身的变换

\[ P_a = \mathbf{T}_{AB} \cdot P_b \]

指的是 将某点在B坐标系中的坐标表示变换为其在A坐标系中的坐标表示，实质是同一点在不同坐标系下的不同坐标表示，即 点的变换；若将A和B坐标系假设为刚体，则B坐标系变换到A坐标系（坐标系本身的变换）的变换矩阵为 \(\mathbf{T}_{AB}^{-1}\)。

• 使用传感器（Camera-IMU）标定工具（例如Kalibr）标定出的外参指的是 点的变换

• ROS中 static_transform_publisher 则是 坐标系本身的变换

  static_transform_publisher x y z yaw pitch roll frame_id child_frame_id period_in_ms

在分析多个坐标系的姿态变换时，要注意根据点的变换或者坐标系的变换确定矩阵左乘还是右乘：
* 点的变换：矩阵相乘 从右到左，即 矩阵左乘 * 坐标系的变换：矩阵相乘 从左到右，即 矩阵右乘

区分 绕定轴旋转 和 绕动轴旋转

• 绕定轴旋转 和 绕动轴旋转

注意 右手系 和 左手系

• 坐标系手性

编程库实践

下面通过示例代码对自己使用过的库进行介绍。

Eigen

Eigen is a C++ template library for linear algebra: matrices, vectors, numerical solvers, and related algorithms.

Eigen::Matrix3d m3_r_z = Eigen::AngleAxisd(M_PI/2, Eigen::Vector3d(0,0,1)).toRotationMatrix();
Eigen::Quaterniond q_r_z(m3_r_z);

Eigen::Vector3f v3_translation(x, y, z);

Eigen::Quaternion<double> q(w, qx, qy, qz);
Eigen::Matrix3f m3_rotation = q.matrix();

Eigen::Matrix4f m4_transform = Eigen::Matrix4f::Identity();
m4_transform.block<3,1>(0,3) = v3_translation;
m4_transform.block<3,3>(0,0) = m3_rotation;

TooN

Tom’s Object-oriented numerics library, is a set of C++ header files which provide basic linear algebra facilities

Array2SE3:

#include <TooN/TooN.h>
#include <TooN/se3.h>

/**
 * @brief transform array to TooN::SE3
 * @param array array of 3x4 row-major matrix of RT
 * @param se3 TooN::SE3 object
 */
void Tools::Array2SE3(const float *array, SE3<> &se3)
{
    Matrix<3,3> m3Rotation;
    for(int i=0;i<3;i++)
    {
        for(int j=0;j<3;j++)
        {
            m3Rotation[i][j] = array[i*4+j];
        }
    }
    SO3<> so3 = SO3<>(m3Rotation);

    Vector<3> v3Translation;
    v3Translation[0] = array[ 3];
    v3Translation[1] = array[ 7];
    v3Translation[2] = array[11];

    se3.get_rotation()    = so3;
    se3.get_translation() = v3Translation;
}

Sophus

C++ implementation of Lie Groups using Eigen commonly used for 2d and 3d geometric problems (i.e. for Computer Vision or Robotics applications)

#include <iostream>
#include <sophus/se3.hpp>

Eigen::Matrix3d R = Eigen::AngleAxisd(M_PI/2, Eigen::Vector3d(0,0,1)).toRotationMatrix();
Eigen::Quaterniond q(R);

Eigen::Vector3d t(1,0,0);

Sophus::SE3 SE3_Rt(R, t);
Sophus::SE3 SE3_qt(q, t);

typedef Eigen::Matrix<double,6,1> Vector6d;

Vector6d se3 = SE3_Rt.log();

std::cout << "se3 hat = " << std::endl
          << Sophus::SE3::hat(se3) << std::endl;
std::cout <<"se3 hat vee = " << std::endl
          << Sophus::SE3::vee( Sophus::SE3::hat(se3) ).transpose() << std::endl;

Vector6d update_se3;
update_se3.setZero();
update_se3(0,0) = 1e-4d;
Sophus::SE3 SE3_updated = Sophus::SE3::exp(update_se3) * SE3_Rt;
std::cout << "SE3 updated = " << std::endl
          << SE3_updated.matrix() << std::endl;

ROS tf & tf2

tf is a package that lets the user keep track of multiple coordinate frames over time. tf maintains the relationship between coordinate frames in a tree structure buffered in time, and lets the user transform points, vectors, etc between any two coordinate frames at any desired point in time.

#include <Eigen/Geometry>
#include <tf_conversions/tf_eigen.h>
#include <tf2/LinearMath/Quaternion.h>
#include <tf2/LinearMath/Matrix3x3.h>
#include <geometry_msgs/TransformStamped.h>

tf::Transform transform;
transform.setOrigin( tf::Vector3(x, y, z) );
tf::Quaternion q;
q.setRPY(r, p, y);
transform.setRotation(q);

geometry_msgs::Quaternion q_msg;

Eigen::Vector3d v3_r;
tf2::Matrix3x3(tf2::Quaternion(q_msg.x, q_msg.y, q_msg.z, quaternion_imu_.w))
.getRPY(v3_r[0], v3_r[1], v3_r[2]);

tf2::Quaternion q_tf2;
q_tf2.setRPY(v3_r[0], v3_r[1], v3_r[2]);
q_tf2.normalize();

geometry_msgs::TransformStamped tf_stamped;
tf_stamped.transform.rotation.x = q.x();
tf_stamped.transform.rotation.y = q.y();
tf_stamped.transform.rotation.z = q.z();
tf_stamped.transform.rotation.w = q.w();