双目立体视觉原理

[TOC]

Overview

双目立体视觉的整体流程包括：

• 图像采集
• 双目标定
• 双目矫正
• 立体匹配
• 三维重建

1. 图像采集

双目相机采集 左右目图像

2. 双目标定

通过 双目标定工具 对双目相机进行标定，得到如下结果参数：

内参	外参
相机矩阵 $K_1, K_2$	旋转矩阵 $R$
畸变系数 $D_1, D_2$	平移向量 $t$

《Learning OpenCV》中对于 Translation 和 Rotation 的图示是这样的:

示例代码：

cv::Matx33d K1, K2, R;
cv::Vec3d T;
cv::Vec4d D1, D2;

int flag = 0;
flag |= cv::fisheye::CALIB_RECOMPUTE_EXTRINSIC;
flag |= cv::fisheye::CALIB_CHECK_COND;
flag |= cv::fisheye::CALIB_FIX_SKEW;

cv::fisheye::stereoCalibrate(
        obj_points_, img_points_l_, img_points_r_,
        K1, D1, K2, D2, img_size_, R, T,
        flag, cv::TermCriteria(3, 12, 0));

3. 双目矫正

双目矫正 主要包括两方面：畸变矫正 和 立体矫正 。

利用 OpenCV的函数，主要分为

• stereoRectify
• initUndistortRectifyMap
• remap

stereoRectify

根据双目标定的结果 $K_1, K_2, D_1, D_2, R, t$，利用 OpenCV函数 stereoRectify，计算得到如下参数

• 左目 矫正矩阵(旋转矩阵) $R_1$ (3x3)
• 右目 矫正矩阵(旋转矩阵) $R_2$ (3x3)
• 左目 投影矩阵 $P_1$ (3x4)
• 右目 投影矩阵 $P_2$ (3x4)
• disparity-to-depth 映射矩阵 $Q$ (4x4)

其中，

左右目投影矩阵（horizontal stereo, ${c_x}_1’={c_x}_2’$ if CV_CALIB_ZERO_DISPARITY is set）

$$P_1 = \begin{bmatrix} f' & 0 & {c_x}_1' & 0 \\ 0 & f' & c_y' & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ $$P_2 = \begin{bmatrix} f' & 0 & {c_x}_2' & t_x' \cdot f' \\ 0 & f' & c_y' & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

where

$$t_x' = -B$$

disparity-to-depth 映射矩阵

$$Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -{c_x}_1' \\ 0 & 1 & 0 & -c_y' \\ 0 & 0 & 0 & f' \\ 0 & 0 & -\frac{1}{t_x'} & \frac{ {c_x}_1'-{c_x}_2'}{t_x'} \end{bmatrix}$$

通过 $P_2$ 可计算出 基线 长度:

$$\begin{aligned} \text{baseline} = B = - t_x' = - \frac{ {P_2}^{(03)} }{f'} \end{aligned}$$

示例代码：

cv::Mat R1, R2, P1, P2, Q;
cv::fisheye::stereoRectify(
        K1, D1, K2, D2, img_size_, R, T,
        R1, R2, P1, P2, Q,
        CV_CALIB_ZERO_DISPARITY, img_size_, 0.0, 1.1);

CameraInfo DKRP

参考：sensor_msgs/CameraInfo Message

• D: distortion parameters.
  • For “plumb_bob”, the 5 parameters are: (k1, k2, t1, t2, k3)
• K: Intrinsic camera matrix for the raw (distorted) images.
  • Projects 3D points in the camera coordinate frame to 2D pixel coordinates using the focal lengths (fx, fy) and principal point (cx, cy). $$\mathbf{K} = \begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
• R: Rectification matrix (stereo cameras only).
  • A rotation matrix aligning the camera coordinate system to the ideal stereo image plane so that epipolar lines in both stereo images are parallel.
  • For monocular cameras $\mathbf{R} = \mathbf{I}$

• P: Projection/camera matrix.

  • For monocular cameras $$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x & 0 \\ 0 & f_y & c_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$
  • For a stereo pair, the fourth column [Tx Ty 0]’ is related to the position of the optical center of the second camera in the first camera’s frame. We assume Tz = 0 so both cameras are in the same stereo image plane.
    • The first camera $$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} f_x' & 0 & c_x' & 0 \\ 0 & f_y' & c_y' & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$
    • The second camera $$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} f_x' & 0 & c_x' & -f_x' \cdot B \\ 0 & f_y' & c_y' & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$
  • Given a 3D point $[X Y Z]’$, the projection $(x, y)$ of the point onto the rectified image is given by:
  $$\begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} = \mathbf{P} \cdot \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{bmatrix} , \quad \begin{cases} x = \frac{u}{w} \\ y = \frac{v}{w} \end{cases}$$

initUndistortRectifyMap

左右目 分别利用 OpenCV函数 initUndistortRectifyMap 计算 the undistortion and rectification transformation map，得到

• 左目map: $map^l_1, map^l_2$
• 右目map: $map^r_1, map^r_2$

示例代码：

cv::fisheye::initUndistortRectifyMap(K1, D1, R1, P1, img_size, CV_16SC2, rect_map_[0][0], rect_map_[0][1]);
cv::fisheye::initUndistortRectifyMap(K2, D2, R2, P2, img_size, CV_16SC2, rect_map_[1][0], rect_map_[1][1]);

Remap

左右目 分别利用 OpenCV函数 remap 并根据 左右目map 对左右目图像进行 去畸变 和 立体矫正，得到 左右目矫正图像

示例代码：

cv::remap(img_l, img_rect_l, rect_map_[0][0], rect_map_[0][1], cv::INTER_LINEAR);
cv::remap(img_r, img_rect_r, rect_map_[1][0], rect_map_[1][1], cv::INTER_LINEAR);

4. 立体匹配

根据双目矫正图像，通过 BM或SGM等立体匹配算法 对其进行立体匹配，计算 视差图

视差计算

通过 OpenCV函数 stereoBM (block matching algorithm)，生成 视差图(Disparity Map) (CV_16S or CV_32F)

disparity map from stereoBM of OpenCV :
It has the same size as the input images. When disptype == CV_16S, the map is a 16-bit signed single-channel image, containing disparity values scaled by 16. To get the true disparity values from such fixed-point representation, you will need to divide each disp element by 16. If disptype == CV_32F, the disparity map will already contain the real disparity values on output.

So if you’ve chosen disptype = CV_16S during computation, you can access a pixel at pixel-position (X,Y) by: short pixVal = disparity.at<short>(Y,X);, while the disparity value is float disparity = pixVal / 16.0f;; if you’ve chosen disptype = CV_32F during computation, you can access the disparity directly: float disparity = disparity.at<float>(Y,X);

• Disparity Map
• Disparity map post-filtering

5. 深度图

一般双目相机

（1）算法1：根据视差图，利用 $f’$ 和 $B$ 通过几何关系计算 深度值，并利用相机内参计算 三维坐标

根据上图相似三角形关系，得

$$\frac{Z}{B} = \frac{Z-f}{B-d_w} \quad \Longrightarrow \quad Z = \frac{Bf}{d_w}$$

其中，$f$ 和 $d_w$ 分别为 成像平面的焦距和视差，单位均为 物理单位，将其转换为 像素单位，上式写为

$$Z = \frac{B f'}{d_p}$$

其中，

$$d_p = (O_r - u_r) + (u_l - O_l) = (u_l - u_r) + (O_r - O_l)$$

最终，深度计算公式如下，通过遍历图像可生成 深度图

$$Z = \text{depth} = \frac{B \cdot f'}{d_p} \quad \text{with} \quad d_p = \text{disp}(u,v) + ({c_x}_2' - {c_x}_1')$$

根据 小孔成像模型，已知 $Z$ 和 相机内参 可计算出 三维点坐标，从而可生成 三维点云

$$\begin{aligned} \begin{cases} Z = \text{depth} = \frac{f' \cdot B}{d_p} \\ X = \frac{u-{c_x}_1'}{f'} \cdot Z \\ Y = \frac{v-{c_y}'}{f'} \cdot Z \end{cases} \end{aligned} \quad \text{or} \quad \begin{aligned} \begin{cases} \text{bd} = \frac{B}{d_p}\\ Z = \text{depth} = f' \cdot \text{bd} \\ X = (u-{c_x}_1') \cdot \text{bd} \\ Y = (v-{c_y}') \cdot \text{bd} \end{cases} \end{aligned}$$

其中，$\text{disp}(u,v)$ 代表 视差图 坐标值

（2）算法2：根据视差图，利用 $Q$ 矩阵 计算 三维点坐标（reprojectImageTo3D）

$$\begin{bmatrix} X' \\ Y' \\ Z' \\ W \end{bmatrix} = Q \cdot \begin{bmatrix} u \\ v \\ \text{disp}(u,v) \\ 1 \end{bmatrix}$$

最终，三维点坐标为

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{X'}{W} \\[2ex] \frac{Y'}{W} \\[2ex] \frac{Z'}{W} \end{bmatrix}$$

单目结构光相机(Kinect v1)

根据 相似三角形

$$\frac{D}{b}=\frac{Z_{o}-Z_{k}}{Z_{o}}$$ $$\frac{d}{f}=\frac{D}{Z_{k}}$$

最终，得

$$Z_{k}=\frac{Z_{o}}{1+\frac{Z_{o}}{f b} d}$$

深度图 图像类型

• 单位meter —> 32FC1
• 单位millimeter —> 16UC1

6. 图像配准

深度图与RGB图像的配准

总结